Black-Scholesov model

Black-Scholesov model je matematický model finančného trhu, ktorý popisuje určité finančné nástroje a pomocou neho možno následne určiť teoretickú cenu európskych opcií. Základnou myšlienkou modelu je možnosť dosiahnutia bezrizikovej pozície pomocou tzv. „delta hedgovania“, t.j. nákupom a predajom podkladového aktíva. Hodnota takto získaného portfólia je potom nezávislá na cene podkladového aktíva. Odtiaľ potom získame teoretickú cenu opcie. Uvedený model viedol k veľkému rozšíreniu opčných obchodov a predstavuje jeden z najvýznamnejších finančných modelov poslednej doby.​

Predpoklady modelu​

Ako každý model aj Black-Scholesov model má určité predpoklady, ktoré musia byť splnené. Medzi ne patria:​

  • Vylúčenie možnosti arbitráže. Aby investor dosiahol zisk, musí podstúpiť zodpovedajúce riziko.​
  • Investor si môže požičiavať za bezrizikovú sadzbu​
  • Je možné kupovať aj predávať ľubovoľné množstvo akcií​
  • Pri obchodovaní nevznikajú žiadne dodatočné náklady.​
  • Cena podkladovej akcie sa pohybuje v súlade s geometrickým Brownovým pohybom. Ide o náhodný pohyb, ktorý možno popísať pomocou stochastického kalkulu, nejedná sa však priamo o tzv. „random walk“.​
  • Akcie nevyplácajú dividendu​

Neskoršie rozšírenia modelu odstránili niektoré predpoklady. Modelom je potom možné zachytiť aj vplyv dividend, transakčné náklady a dane, ale aj americké opcie.

Black-Scholesova rovnica a vzorec

Hlavnú myšlienku modelu (t.j. docielenie vyrovnanej delty portfólia) možno vyjadriť pomocou parciálnej diferenciálnej rovnice. Jej vyriešením potom získame Black-Scholesov vzorec, v ktorom sa vyskytujú štyri premenné – bezriziková úroková sadzba, cena podkladového aktíva, čas do maturity a volatilita výnosov akcie. Z tohto vzorca už možno vypočítať hodnotu opcie.

Greeks

Greeks sú nástroje používané vo finančnej analýze, ktoré umožňujú analyzovať citlivosť opcie podľa jednej zo štyroch uvedenných premenných. Matematicky je možné „greeks“ definovať ako parciálne derivácie Black-Scholesovho vzorca podľa danej premennej. Nasledujúca tabuľka uvádza tie najdôležitejšie.​

Greek​Citlivosť ceny opcie voči zmene v​
Delta​cene podkladového aktíva​
Vega​volatilite výnosov akcie​
Ró​bezrizikovej úrokovej sadzby​
Théta​zmene času do maturity​
 

Ďalšie „greeks“ sú potom parciálne derivácie druhého a vyššieho stupňa. Merajú tak rýchlo zmeny príslušnej premennej použitej pri prvej derivácii. Napríklad gama je deriváciou delty podľa zmeny podkladového aktíva.​

Greeks môžu pomôcť aj pri prispôsobovaní Black-Scholesovho modelu.​

Black-Scholesov model v praxi

Cena vypočítaná podľa modelu a skutočná cena sa môžu viac či menej líšiť. Na vine sú zjednodušujúce predpoklady, s ktorými model pracuje. V reálnom trhovom prostredí sa napríklad ceny akcií neriadia už spomenutým geometrickým Brownovým pohybom. Vďaka tomu predpokladu so potom v modeli vyskytuje funkcia normálneho rozdelenia, z čoho vyplýva podcenenie extrémnych pohybov cien akcií.

Black-Scholesov model ďalej predpokladá vznik bezrizikovej pozície pomocou delta hedgovania. V reálnom svete sa však objavujú ďalšie riziká, ktoré sa takto odstrániť nedajú, napríklad o riziká vyplývajúce z nedostatočnej likvidity na trhu, zmeny volatility a pod.

Tieto problémy sa však dajú do určitej miery zapracovať do modelu, k čomu možno použiť „greeks". Ak bude investor hedgovať svoje portfólio nielen podľa delty, ale i ďalších „greeks", odstráni tak ďalšie časti rizika, napr. tie, ktoré súvisia s pohybom úrokových sadzieb. Problematic​ké zložky rizika, medzi ktoré patrí napríklad nelikvidita trhu, je nutné „postrážiť" mimo model, napríklad použitím záťažových testov.

Ako u všetkých modelov teda platí, že je dôležité vedieť, kedy model prestáva fungovať.

​